Buktikan bahwa: sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

Kategori: Matematika - Trigonometri Lanjut
Kelas: XI SMA
Kata Kunci: penjumlahan dua sudut
Pembahasan:

Pembuktian bahwa sin (α + β) = sin a cos β + cos α sin β:

Rumus sudut berelasi:
- sin ([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - α) = cos α
- cos ([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - α) = sin α

Ingat bahwa:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Jika disubstitusikan, maka:
sin α = cos ([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - α)
sin (α + β) = cos ([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - (α + β))
                 = cos (([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - α) - β)
                 = cos ([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - α) cos β + sin ([tex] \frac{ \pi }{2} [/tex] - α) sin β)
                 = sin α cos β + cos α sin β

Penjumlahan sudut pada soal terbukti benar berdasarkan rumus penjumlahan dua sudut:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika ingin tahu hasilnya, maka:
sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
                        = [tex] \frac{1}{2} [/tex]√2 . [tex] \frac{1}{2} [/tex]√3 + [tex] \frac{1}{2} [/tex]√2 . [tex] \frac{1}{2} [/tex]
                        = [tex] \frac{1}{4} [/tex]√6 + [tex] \frac{1}{4} [/tex]√2
                        = [tex] \frac{1}{4} [/tex] (√6 + √2)

Kelas 10 Matematika
Bab Trigonometri

sin α = cos (90° - α)

sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin (45° + 30°) = sin 45° . cos 30° + cos 45° . sin 30°
sin 75° = 1/2 √2 . 1/2 √3 + 1/2 √2 . 1/2
sin 75° = 1/4 (√6 + √2)

sin α = cos (90° - α)
sin 75° = cos (90° - 75°)
sin 75° = cos 15°

cos (a - b) = cos a cos b + sin a . sin b

cos 15 = cos (45° - 30°)


cos (45° - 30°) = cos 45° . cos 30° + sin 45° . sin 30°
cos 15° = 1/2 √2 . 1/2√3 + 1/2 √2 . 1/2
cos 15° = 1/4 . (√6 + √2)

Maka, sin α = cos (90° - α)

atau

sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b)

atau

cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b